Đa thức chuỗi và chuyên đề nâng cao

Nói đến Đại số sơ cấp là người ta thường hay nói đến phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức. Một mảnh đất đã được cày xới nhiều lần và quá sâu qua năm tháng. Để có thể tiếp cận mảnh đất ấy theo cách mới chúng tôi đã sử dụng vành đa thức, trường C, kết thức, khai triển đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức. Vành đa thức được xây dựng một cách tổng quát, tránh được sự khác biệt vai trò giữa x và các hệ số thuộc đa thức. Trường C được chứng minh là đóng đại số để khi giải quyết những vấn đề liên quan tới phương trình chúng ta sẽ có nghiệm của nó. Với khái niệm phần tử đại số, ta dễ dàng chỉ ra x là phần tử siêu việt trên trường cơ sở K

Nội dung của mỗi chương được giới thiệu cụ thể như sau:

Chương 1: Giới thiệu vành đa thức, số phức và tính đóng đại số của trường C. Các bài trong chương tập trung xây dựng vành đa thức, đánh giá nghiệm. đa thức bất khả quy và các công thức nội suy, như Mội suy Taylor, Newton, Lagrange. Từ đó ta suy ra điều kiện có nghiệm chung của các đa thức và sự phân tích đa thức thành tích các nhân tử bất khả quy trong R [x]. Đối với đa thức hệ số nguyên, chúng tôi đã trình bày bốn tiêu chuẩn để nhận biết tính bất khả quy và định nghĩa đa thức tối thiểu của một số đại số. Ngoài ra chúng tôi còn giới thiệu công thức khai triển đa dơn thức, một công thức khai triển tổng quát của Nhị thức Newton.

Chương 2: tập trung giới thiệu một số chuyên đề thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế và thi vô địch sinh viên toán. Trong chương này, các chuyên đề về đa thức bậc ba tam giác, hệ phương trình, tổ hợp, công thức chuyển ngược. Định lý không điểm, Định lý Noga Alon,... đã được giới thiệu tương đối chi tiết.

Chương 3: giới thiệu vành các chuỗi lũy thừa hình thức. Chúng tôi tập trung trình bày vành các chuỗi lũy thừa (không quan tâm đến điều kiện hội tụ của chuỗi) hàm sinh thường và hàm sinh mũ, tích vô hạn - hàm Zeta Riemann và Đồng nhất thức Newton. Trình bày tương đối chi tiết chuỗi lũy thừa và hàm sinh thường - hàm sinh mũ, hai kỹ thuật giải tích được sử dụng nhiều đối với những bài toán giải theo nguyên lý kế thừa: các nghiệm sau được xây dựng từ các nghiệm trước bằng cách tổ hợp một phần nghiệm tìm được và một phần mới.

Cuốn sách rất hữu ích với sinh viên, học viên cao học, các thầy cô giáo và các em học sinh giỏi toán