Giới thiệu về triết học toán học

CUỐN SÁCH NÀY về cơ bản nhằm mục đích là “Giới thiệu” và không nhằm mục đích đưa ra một cuộc thảo luận thấu đáo về các vấn đề mà nó giải quyết. Có vẻ như mong muốn đặt ra một số kết quả, cho đến nay chỉ dành cho những người đã thành thạo biểu tượng logic, dưới một hình thức gây khó khăn tối thiểu cho người mới bắt đầu. Người ta đã cố gắng hết sức để tránh chủ nghĩa giáo điều đối với những câu hỏi vẫn còn gây nghi ngờ nghiêm trọng, và nỗ lực này ở một mức độ nào đó đã chi phối việc lựa chọn các chủ đề được xem xét. Sự khởi đầu của logic toán học ít được biết đến hơn so với các phần sau này, nhưng ít nhất cũng có ý nghĩa triết học ngang nhau. Phần lớn những gì trình bày trong các chương sau đây không được gọi là “triết học” một cách đúng đắn, mặc dù những vấn đề liên quan đã được đưa vào triết học chừng nào chưa có khoa học thỏa đáng nào về chúng tồn tại. Ví dụ, bản chất của vô hạn và liên tục trước đây thuộc về triết học, nhưng ngày nay thuộc về toán học. Triết học toán học, theo nghĩa chặt chẽ, có lẽ không thể được coi là bao gồm các kết quả khoa học xác định như vậy đã thu được trong khu vực này; triết học toán học đương nhiên sẽ được kỳ vọng giải quyết các câu hỏi về giới hạn của kiến thức, những vấn đề vẫn chưa đạt được sự chắc chắn tương đối. Nhưng suy đoán về những câu hỏi như vậy khó có thể có kết quả trừ khi những phần khoa học hơn của các nguyên tắc toán học được biết đến. Do đó, một cuốn sách bàn về những phần đó có thể tuyên bố là một giới thiệu về triết học toán học, mặc dù nó khó có thể tuyên bố, trừ khi nó bước ra ngoài lĩnh vực của mình, là thực sự bàn về một phần của triết học. Tuy nhiên, nó đề cập đến một khối lượng kiến thức mà đối với những người chấp nhận nó, dường như làm mất hiệu lực của nhiều triết học truyền thống, và thậm chí là phần lớn những gì đang tồn tại trong thời đại ngày nay. Bằng cách này, cũng như bằng cách giải quyết những vấn đề vẫn chưa được giải

quyết, logic toán học có liên quan đến triết học. Vì lý do này, cũng như do tầm quan trọng nội tại của chủ đề, một số mục đích có thể được phục vụ bằng cách giải thích ngắn gọn các kết quả chính của logic toán học ở dạng không yêu cầu kiến thức toán học cũng như năng khiếu về ký hiệu toán học. Tuy nhiên, ở đây cũng như

ở những nơi khác, phương pháp này quan trọng hơn kết quả xét từ quan điểm nghiên cứu sâu hơn; và phương pháp này không thể được giải thích rõ ràng trong khuôn khổ của một cuốn sách như sau. Hy vọng rằng một số độc giả có thể đủ hứng thú để tiến tới nghiên cứu phương pháp mà nhờ đó logic toán học có thể trở

nên hữu ích trong việc khảo sát các vấn đề truyền thống của triết học. Nhưng đó là một chủ đề mà các trang tiếp theo chưa cố gắng giải quyết.