10 bổ đề đại số trong các kì thi Olympic Toán (miễn phí giao hàng)

Trong các cuộc thi toán học ngày nay, các dạng bài toán dường như ngày càng đa dạng và ranh giới phân chia các chủ đề cũng bớt cứng nhắc hơn. Tuy nhiên, chúng ta có thể theo dõi một số chủ đề lặp đi lặp lại trong nhiều bài toán đại số. Việc áp dụng một danh sách kiểm tra hoặc tập hợp các kỹ thuật có phương pháp có thể giúp người giải quyết vấn đề làm sáng tỏ loại giải pháp cần thiết cho lớp tương ứng mà vấn đề liên quan. Đây là cuốn sách đầu tiên đi sâu phân tích một số đồng dạng đại số thường bị bỏ qua trong các cuốn sách Olympic toán học khác. Hơn nữa, nhiều vấn đề là hoàn toàn mới và đã được tạo ra một cách có chủ ý để giới thiệu các kỹ thuật cụ thể.

Chúng tôi trình bày mười chủ đề thường lặp lại trong các bài toán đại số. Mỗi chương bắt đầu bằng một phần giới thiệu ngắn gọn bao gồm các ví dụ hữu ích để người đọc nắm được ý chính trong các vấn đề được đề xuất và các giải pháp của chúng. Chương đầu tiên đề cập đến các hàm bậc hai và nhấn mạnh việc sử dụng biệt thức và các mối quan hệ giữa nghiệm của một tam thức bậc hai và các hệ số của nó. Chương thứ hai nhấn mạnh bình phương của một số thực không âm; tính chất đơn giản này dẫn đến nhiều ứng dụng cũng gặp trong các chương tiếp theo. Trong Chương 3, một số bất đẳng thức được khám phá, bao gồm bất đẳng thức nổi tiếng nhất trong thế giới Olympic toán học: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Chương 4 dành cho các vấn đề liên quan đến cực tiểu và cực đại của biểu thức đại số. Những vấn đề này cũng có thể được tiếp cận bằng cách sử dụng các kỹ thuật được sử dụng trong chương trước.

Chương thứ năm đi sâu vào một sự đồng nhất tuyệt đẹp liên quan đến lập phương của ba số và bộ ba tích của chúng. Danh tính này có nhiều ứng dụng bất ngờ và mạnh mẽ. Chương 6 là về số phức và chúng tôi đưa ra các định nghĩa và một số kết quả hữu ích để hỗ trợ người đọc giải quyết các vấn đề được đề xuất. Chương thứ bảy đề cập đến Đồng nhất của Lagrange, có nhiều ứng dụng không dự đoán được, bao gồm cả những ứng dụng liên quan đến các bài toán liên quan đến lý thuyết số. Chương 8 tập trung vào cái gọi là Nhận dạng của Sophie Germain thành phố. Ở đây, bạn cũng sẽ tìm thấy các vấn đề trong đó việc áp dụng danh tính này là không rõ ràng. Trong Chương 9, chúng ta xem xét các biểu thức dạng t + k/t và các ứng dụng có ý nghĩa. Cuối cùng, chương cuối nói về đa thức bậc và các dạng bài toán không thường xuyên.